Logarithme Népérien

Définition ln x pour x>0, propriétés algébriques, dérivée (ln u)'=u'/u, étude complète, fonctions du type ln(u(x)). Application : élasticité, taux de croissance.

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📐 Propriétés algébriques de ln

Logarithme népérien — définition et propriétés

Définition

ln est la primitive de 1/x sur ]0;+∞[ valant 0 en 1. Domaine : ]0;+∞[ ; ln 1=0 ; ln e=1 ln et exp sont réciproques : ln(eˣ)=x et e^(ln x)=x PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES (a,b>0) : ln(ab) = ln a+ln b ln(a/b) = ln a−ln b ln(aⁿ) = n·ln a ln(1/a) = −ln a APPLICATIONS EG : Taux de croissance continu : ln(Pt/P₀)=r·t Élasticité : ε=d(ln Q)/d(ln P)=P·(dQ/dP)/Q Doubler le revenu : Δln(R)=ln 2≈0,693

Dérivée de ln et composée

Formule clé

(ln x)' = 1/x (x>0) (ln u)' = u'/u (u>0) Exemples : (ln(x²+1))' = 2x/(x²+1) (ln(2x+3))' = 2/(2x+3) (ln|x|)' = 1/x (x≠0) LINÉARISATION approchée : ln(1+x)≈x pour x petit (développement) ln(1,05)≈0,05 ; ln(0,98)≈−0,02

⚡ En EG : ln(Pₜ/P₀)=taux de variation continue → très utilisé en croissance économique.

Exercices

EX-LN1FacilePropriétés algébriques

Simplifier ln(8)−ln(4)+ln(1/2).

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EX-LN2FacileDérivée composée

f(x)=ln(3x²+1). Calculer f'(x).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LN3IntermédiaireTaux de croissance

Une entreprise passe de 100 à 150 employés. Calculer le taux de croissance continue.

Logarithme Népérien

5.1 Propriétés et dérivée

5.2 Étude de ln et de ln(u(x))