Term. Techno · CH 13Analyse⚙️ STI2D/STL
Équations différentielles & Compléments
📂 STI2D/STL · Section D — Spécialité PCM
y'=ay → Ceᵃˣ ; y'=ay+b → Ceᵃˣ−b/a ; condition initiale ; circuits RC ; refroidissement Newton. Convexité f'', IPP.
📊 3 théorèmes & formules·📝 2 exercices·⏱ ~5h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours officiel — Théorèmes & Formules
Équations différentielles du 1er ordre
Théorèmey' = ay (a ∈ ℝ) → y(x) = C·eᵃˣ (C constante réelle)
y' = ay + b (a ≠ 0) :
• Solution particulière constante yₚ = −b/a
• Solution générale : y(x) = C·eᵃˣ − b/a
Condition initiale y(0) = y₀ → C = y₀ + b/a
Solution unique : y(x) = (y₀+b/a)·eᵃˣ − b/a
Applications physiques STI2D/STL
DéfinitionCircuit RC (charge du condensateur) :
RC·u'(t) + u(t) = E → u(t) = E + (U₀−E)·e^(−t/RC)
Loi de Newton (refroidissement) :
T'(t) = −k(T−Text) → T(t) = Text + (T₀−Text)·e^(−kt)
Croissance bactérienne :
N'(t) = α·N(t) → N(t) = N₀·e^(αt)
Convexité (rappel) & IPP (complément)
PropriétéConvexité :
f''(x) ≥ 0 → f convexe (courbe au-dessus des tangentes)
f''(x) ≤ 0 → f concave
Point d'inflexion : f'' change de signe.
Intégration par parties (IPP) :
∫u'(x)·v(x)dx = [u(x)·v(x)] − ∫u(x)·v'(x)dx
Changement de variable affine :
∫f(ax+b)dx = (1/a)·F(ax+b) + C