Probabilités continues

X suit la loi uniforme sur [a;b] si sa densité est constante : f(x) = 1/(b−a) si x ∈ [a;b], 0 sinon. Espérance : E(X) = (a+b)/2 Variance : V(X) = (b−a)²/12 Probabilité : P(c ≤ X ≤ d) = (d−c)/(b−a) pour a ≤ c ≤ d ≤ b. Exemple STI2D : temps d'attente d'un bus arrivant toutes les 15 min : X ∼ U[0;15].

X ∼ N(μ,σ²) → courbe en cloche symétrique autour de μ. Standardisation : Z = (X−μ)/σ ∼ N(0,1) Intervalles usuels : P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683 (68%) P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954 (95%) P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,997 (99,7%) Symétrie : P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

Si X ∼ B(n,p) avec n grand (np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5) : X ≈ N(np ; np(1−p)) Z = (X−np)/√(np(1−p)) ≈ N(0,1) Application : calculer P(X ≥ k) par standardisation au lieu d'utiliser la formule binomiale terme par terme.