Term. Techno · CH 04Probas📊 STMG
Probabilités conditionnelles
📂 STMG · Section 2 — Probabilités & Statistiques
P_A(B), probabilités totales, arbres, indépendance, variable aléatoire, espérance, loi binomiale.
📊 3 théorèmes & formules·📝 2 exercices·⏱ ~4h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours officiel — Théorèmes & Formules
Probabilité conditionnelle et totales
Formule cléP_A(B) = P(A∩B) / P(A) avec P(A) ≠ 0
Formule des probabilités composées : P(A∩B) = P(A)·P_A(B)
Formule des probabilités totales (partition A, Ā) :
P(B) = P(A)·P_A(B) + P(Ā)·P_Ā(B)
Application : arbres de probabilités — la probabilité d'un chemin est le produit des branches ; additionner les chemins arrivant en B.
Variable aléatoire et espérance
DéfinitionX est une variable aléatoire prenant les valeurs x₁, x₂, …, xₙ avec les probabilités p₁, p₂, …, pₙ (Σpᵢ = 1).
Espérance : E(X) = Σ xᵢ·pᵢ = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
Écart-type : σ(X) = √V(X) avec V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Interprétation : E(X) est la valeur moyenne à long terme.
Loi binomiale B(n,p)
Formule cléX suit B(n,p) si X = nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes (prob. succès = p).
P(X=k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = n·p ; V(X) = n·p·(1−p)
Exemple STMG : taux de clients satisfaits p = 0,75, sondage n = 10.
P(X=8) = C(10,8)×0,75⁸×0,25² ≈ 0,282.