Exponentielle & Logarithme

(eˣ)' = eˣ ; (e^(ax+b))' = a·e^(ax+b) Propriétés algébriques : eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ ; eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ eᵃ = eᵇ ⟺ a = b (injectivité) eˣ > 0 toujours ; lim(x→−∞) eˣ = 0 ; lim(x→+∞) eˣ = +∞ Équations/inéquations : isoler l'exponentielle puis comparer les exposants.

ln est l'unique primitive de x ↦ 1/x sur ]0;+∞[ qui s'annule en 1. (ln x)' = 1/x pour x > 0 ln(eˣ) = x ; e^(ln x) = x Propriétés algébriques : ln(ab) = ln a + ln b ln(a/b) = ln a − ln b ln(aⁿ) = n·ln a ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 Variations : strictement croissante ; lim(x→0⁺) ln x = −∞ ; lim(x→+∞) ln x = +∞

lim(x→+∞) ln(x)/x = 0 (ln croit moins vite que x) lim(x→0⁺) x·ln x = 0 Décharge de condensateur : U(t) = U₀·e^(−t/RC) → ln(U/U₀) = −t/RC → t = −RC·ln(U/U₀) Loi de Newton (refroidissement) : T(t) = Text + (T₀−Text)·e^(−kt) → utiliser le logarithme pour trouver k ou t.

ln(u) = ln(v) ⟺ u = v (u,v > 0) ln(u) > ln(v) ⟺ u > v (croissance stricte) ln(u) = k ⟺ u = eᵏ Stratégie générale : 1. Isoler ln(x). 2. Appliquer eˣ des deux côtés. 3. Vérifier que les solutions vérifient les conditions de domaine (x > 0). Exemple : 2·ln(x) = ln(9) → ln(x²) = ln(9) → x² = 9 → x = 3 (x > 0).