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📊CH 01Analyse📊 STMG

Fonctions — Approfondissement

Fonctions affines, second degré (forme canonique, sommet, signe), exponentielle eˣ, croissance comparée, applications économiques (coût, recette, bénéfice).

📐 Second degré et exponentielle
Fonctions du second degré
Définition
f(x)=ax²+bx+c (a≠0) Forme canonique : f(x)=a(x−α)²+β α=−b/(2a) (sommet), β=f(α)=−Δ/(4a) Δ=b²−4ac SIGNE : Δ>0 : racines x₁<x₂ ; f(x) signe de a hors [x₁;x₂] Δ=0 : racine double x₀ ; f(x)≥0 si a>0 (≤0 si a<0) Δ<0 : f(x) signe de a sur ℝ
Fonction exponentielle eˣ
Définition
Propriétés : eᵃ⁺ᵇ=eᵃ·eᵇ ; (eˣ)'=eˣ ; eˣ>0 ∀x Domaine ℝ ; image ]0;+∞[ lim(x→−∞) eˣ=0 (AH y=0) ; lim(x→+∞) eˣ=+∞ CROISSANCE COMPARÉE : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ=+∞ ; lim xⁿ/eˣ=0 lim(x→+∞) xⁿ·e^(−x)=0 Application STMG : Modèle exponentiel : q(t)=q₀·e^(rt) Doubler : e^(rt₂)=2 → t₂=ln2/r
⚡ En STMG, l'exponentielle sert à modéliser la croissance et la décroissance économique ou démographique.
Exercices
EX-SF1FacileSigne du trinôme

f(x)=2x²−8x+6. Trouver les racines, le sommet et signer f.

🧮 Résoudre avec IA
EX-SF2IntermédiaireModèle exponentiel

Entreprise : CA(t)=50000·e^(0,05t). CA en t=0 et t=10. Quand CA double ?

🧮 Résoudre avec IA
💼 Applications économiques
Optimisation du bénéfice
Méthode
B(q)=R(q)−C(q) (Recette − Coût) Maximum de B : B'(q)=0 ↔ R'(q)=C'(q) (recette marg. = coût marg.) Coût moyen : CM(q)=C(q)/q Min CM quand CM'(q)=0 ↔ Cm(q)=CM(q) Seuil de rentabilité : R(q)=C(q) → B(q)=0 Résoudre par TVI ou graphiquement
Exercices
EX-SF3IntermédiaireSeuil de rentabilité

C(q)=2q+100, R(q)=5q. Seuil de rentabilité.

🧮 Résoudre avec IA
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