Term. Techno · CH 01Analyse📊 STMG
Fonctions (approfondissement)
📂 STMG · Section 1 — Analyse & Données
Fonctions affines, second degré forme canonique, fonction exponentielle eˣ, applications économiques.
📊 4 théorèmes & formules·📝 3 exercices·⏱ ~5h
Légende :ThéorèmeDéfinitionFormule cléPropriétéMéthode
📐 Cours officiel — Théorèmes & Formules
Fonctions affines et second degré
DéfinitionFonction affine : f(x) = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine).
Variations : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0.
Fonction du second degré : f(x) = ax² + bx + c.
Forme canonique : a(x−α)² + β avec α = −b/(2a), β = f(α).
Sommet S(α,β) : minimum si a > 0, maximum si a < 0.
Fonction exponentielle eˣ — propriétés
PropriétéDéfinition : l'unique fonction dérivable telle que f' = f et f(0) = 1.
Propriétés algébriques :
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ ; eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ ; (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ
e⁰ = 1 ; eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
Variations : strictement croissante sur ℝ.
Limites : lim(x→−∞) eˣ = 0 ; lim(x→+∞) eˣ = +∞
Dérivée : (eˣ)' = eˣ ; (e^(ax))' = a·e^(ax)
Croissance comparée (introduction STMG)
PropriétéL'exponentielle "gagne" finalement sur tout polynôme :
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ pour tout n ∈ ℕ
lim(x→−∞) xⁿ eˣ = 0
Application économique : modèle de croissance exponentielle P(t) = P₀·eˡᵗ
(population, capital avec intérêts composés en temps continu).
Résoudre une équation avec eˣ
Méthodeeᵘ = eᵛ ⟺ u = v (la fonction est injective)
eˣ = k (k > 0) ⟺ x = ln k (utiliser le logarithme)
Exemple : e^(2x−1) = e³ → 2x−1 = 3 → x = 2.
Exemple : e^x = 5 → x = ln 5 ≈ 1,609.