Solutions de y'=ay et y'=ay+b
ThéorèmeÉQUATION HOMOGÈNE y'=ay (a∈ℝ) :
Solutions : y(x)=C·eᵃˣ , C∈ℝ
ÉQUATION COMPLÈTE y'=ay+b (a≠0) :
1. Solution particulière constante : yₚ=−b/a (car 0=a·yₚ+b)
2. Solution générale : y(x)=C·eᵃˣ − b/a , C∈ℝ
CONDITION INITIALE y(x₀)=y₀ :
détermine C de façon unique :
C=(y₀+b/a)·e^(−a x₀)
Théorème de Cauchy : il existe une unique solution vérifiant une condition initiale donnée.
⚡ Comportement à l'infini : si a<0, y(x) → −b/a (régime permanent) ; si a>0, |y(x)| → +∞.
Vérifier / utiliser une solution
MéthodeVÉRIFIER qu'une fonction g est solution de y'=ay+b :
→ calculer g'(x) et vérifier g'(x)=a·g(x)+b pour tout x.
STRATÉGIE TYPE BAC :
1. Identifier a et b.
2. Écrire la forme générale y=Ceᵃˣ−b/a.
3. Appliquer la condition initiale → trouver C.
4. Étudier la limite / le régime permanent si demandé.