Logarithme Népérien

Définition ln x pour x>0, propriétés algébriques, dérivée, étude complète de ln et de fonctions du type ln(u(x)), croissances comparées.

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📐 Propriétés algébriques de ln

Logarithme népérien — définition

Définition

ln est la primitive de 1/x sur ]0;+∞[ valant 0 en 1. Domaine : D=]0;+∞[ lm 1=0 ; ln e=1 ; ln e^a=a PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES (a,b>0) : ln(ab) = ln a+ln b ln(a/b) = ln a−ln b ln(aⁿ) = n·ln a (n∈ℝ) ln(1/a) = −ln a CHANGEMENT DE BASE : log_a(x) = ln x/ln a log₁₀(x) = ln x/ln 10 ≈ ln x/2,303

Dérivée de ln et composée

Formule clé

(ln x)' = 1/x (x>0) COMPOSÉE : (ln u)' = u'/u (u>0) Exemples : (ln(x²+1))' = 2x/(x²+1) (ln(sin x))' = cos x/sin x = cot x (sin x>0) (ln|x|)' = 1/x (x≠0)

⚡ u'/u est très fréquente → repérer une dérivée au numérateur divisée par la fonction.

Exercices

EX-LN1FacilePropriétés algébriques

Simplifier ln(8)−ln(2)+ln(1/4).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LN2FacileDérivée composée

f(x)=ln(x²+2x+1). Calculer f'(x).

🧮 Résoudre avec IA

EX-LN3IntermédiaireRésolution avec ln

Résoudre ln(x+1)+ln(x−1)=ln(3).

Logarithme Népérien

5.1 Définition et propriétés algébriques

5.2 Étude complète de ln et de ln(u(x))