Fonction Exponentielle

eˣ est la réciproque de ln : ln(eˣ)=x et e^(ln x)=x Domaine : ℝ ; Image : ]0;+∞[ eˣ>0 pour tout x∈ℝ e⁰=1 ; e¹=e≈2,718 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES : e^(a+b) = eᵃ·eᵇ e^(a−b) = eᵃ/eᵇ (eᵃ)ⁿ = e^(na) e^(−a) = 1/eᵃ Comparaison : eˣ>xⁿ pour x assez grand (croissance plus rapide que tout polynôme)

(eˣ)' = eˣ RÈGLE DE LA CHAÎNE : (eᵘ)' = u'·eᵘ Exemples : (e^(x²))' = 2x·e^(x²) (e^(−x))' = −e^(−x) (e^(sin x))' = cos x·e^(sin x) (e^(2x+1))' = 2·e^(2x+1)

⚡ eᵘ>0 toujours → le signe de (eᵘ)' est toujours le signe de u'.

exp strictement CROISSANTE sur ℝ (car (eˣ)'=eˣ>0) LIMITES : lim(x→−∞) eˣ = 0 (AH y=0 en −∞) lim(x→+∞) eˣ = +∞ CROISSANCES COMPARÉES : lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ (exp≫polynôme) lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 lim(x→−∞) xⁿ·eˣ = 0 Courbe : passe par (0;1), tangente en 0 d'équation y=x+1.