Nombre complexe — forme algébrique
Définitionz = a+ib (a,b∈ℝ, i²=−1)
Re(z)=a (partie réelle), Im(z)=b (partie imaginaire)
z réel ⟺ Im(z)=0 ; z imaginaire pur ⟺ Re(z)=0
CONJUGUÉ : z̄ = a−ib
z+z̄=2Re(z) ; z−z̄=2i·Im(z) ; z·z̄=a²+b²=|z|²
z₁+z₂ = z̄₁+z̄₂ ; z₁z₂ = z̄₁·z̄₂ ; (z̄)̄=z
MODULE : |z|=√(a²+b²)
|z|=0 ⟺ z=0 ; |z₁z₂|=|z₁||z₂| ; |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|
DIVISION : z₁/z₂ = z₁·z̄₂ / |z₂|² (multiplier par le conjugué)
Équation du second degré dans ℂ
Théorèmeaz²+bz+c=0 (a,b,c réels, a≠0), discriminant Δ=b²−4ac :
• Δ>0 : deux racines réelles z=(−b±√Δ)/(2a)
• Δ=0 : racine double z=−b/(2a)
• Δ<0 : deux racines complexes conjuguées
z = (−b ± i√(−Δ)) / (2a)
Les racines non réelles sont toujours conjuguées : z et z̄.
Somme et produit : z₁+z₂=−b/a , z₁·z₂=c/a.
⚡ Quand Δ<0, écrire Δ=(i√(−Δ))² pour obtenir √Δ=i√(−Δ).