Droites & Plans dans l'Espace

Droites dans l'espace (représentation paramétrique et cartésienne), plans (équation cartésienne et paramétrique), positions relatives, distances point-plan et point-droite, sphères.

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🗂️ Équations de droites et plans

Plan dans l'espace

Formule clé

Plan passant par A₀(x₀;y₀;z₀) de normale n⃗(a;b;c) : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0 Forme générale : ax+by+cz+d=0 Plan par 3 points A,B,C non alignés : n⃗=AB⃗∧AC⃗ puis équation avec A Plan paramétrique : M=A+su⃗+tv⃗ (s,t∈ℝ, u⃗,v⃗ non colinéaires dans le plan) Positions plan-plan : Parallèles : n⃗₁∥n⃗₂ (normales colinéaires) Sécants : n⃗₁∦n⃗₂ → intersection = droite Angle dièdre : cosθ=|n⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|)

Droite dans l'espace

Formule clé

Droite (A,u⃗) — forme paramétrique : {x=x₀+at ; y=y₀+bt ; z=z₀+ct} t∈ℝ Positions droite-plan : u⃗·n⃗=0 et A∉plan → droite ∥ plan u⃗·n⃗=0 et A∈plan → droite ⊂ plan u⃗·n⃗≠0 → intersection (un point) : substituer la paramétr. dans l'éq. du plan Angle droite-plan : sinα=|u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|) (α∈[0;π/2])

Exercices

EX-DP1FacileÉquation d'un plan

Plan par A(1;2;3) de normale n⃗(2;−1;1). Équation.

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EX-DP2IntermédiaireIntersection droite-plan

D:{x=1+2t;y=−t;z=2+t}. Plan P:x+y−z+1=0.

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EX-DP3DifficilePlan par 3 points

Trouver l'équation du plan par A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).

Droites & Plans dans l'Espace

7.1 Plans et droites — Équations

7.2 Distances et sphères