Section Sciences Expérimentales

lim(x→a) f(x)=ℓ ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0<|x−a|<δ ⟹ |f(x)−ℓ|<ε. On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers a.

lim(x→+∞) f(x)=ℓ ⟺ ∀ε>0, ∃A>0 : x>A ⟹ |f(x)−ℓ|<ε. lim(x→a) f(x)=+∞ ⟺ ∀M>0, ∃δ>0 : 0<|x−a|<δ ⟹ f(x)>M.

Si lim f=ℓ et lim g=m alors : lim(f+g)=ℓ+m · lim(f·g)=ℓ·m · lim(f/g)=ℓ/m (m≠0) · lim(αf)=αℓ. Formes indéterminées : ∞−∞, ∞/∞, 0·∞, 0/0, 1^∞.

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a, et lim(x→a) g(x)=lim(x→a) h(x)=ℓ, alors lim(x→a) f(x)=ℓ.

Si lim(x→a) g(x)=b et lim(x→b) f(x)=ℓ, alors lim(x→a) f(g(x))=ℓ. (sous réserve de compatibilité des domaines)

lim(x→0) sin(x)/x = 1 · lim(x→0) tan(x)/x = 1 · lim(x→0) (1−cos x)/x² = 1/2 · lim(x→0) arcsin(x)/x = 1.

lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1 · lim(x→0) ln(1+x)/x = 1 · lim(x→+∞) (1+1/x)ˣ = e · lim(x→0) (aˣ−1)/x = ln(a).

Pour tout α>0 et n∈ℕ* : lim(x→+∞) ln(x)/xᵅ = 0 · lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 · lim(x→0⁺) x^α·ln(x) = 0 · lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞.

f est continue en a ⟺ lim(x→a) f(x) = f(a). Cela implique : f définie en a, la limite existe, et elle est égale à f(a).

Les fonctions polynômes, rationnelles (hors pôles), sin, cos, eˣ, ln (sur ]0,+∞[) sont continues sur leur domaine de définition. La somme, le produit et la composée de fonctions continues est continue.

Si f est continue sur [a,b] et k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.

Si f est continue sur [a,b] et f(a)·f(b) < 0, alors il existe c∈]a,b[ tel que f(c)=0.

Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], et si k est entre f(a) et f(b), alors il existe un unique c∈[a,b] tel que f(c)=k.

Si f est définie sur I\{a} et lim(x→a) f(x)=ℓ, alors la fonction g définie par g(x)=f(x) pour x≠a et g(a)=ℓ est un prolongement par continuité de f en a.

Horizontale en +∞ : lim(x→+∞) f(x)=ℓ → droite y=ℓ. Verticale en a : lim(x→a) f(x)=±∞ → droite x=a. Oblique y=ax+b : lim(x→±∞) [f(x)−(ax+b)]=0, avec a=lim f(x)/x, b=lim[f(x)−ax].