Fonctions — Généralités

D_f = ensemble des x pour lesquels f(x) est définie. Conditions d'exclusion : • 1/g(x) : g(x) ≠ 0 • √g(x) : g(x) ≥ 0 • ln(g(x)) : g(x) > 0 • g(x)/h(x) : h(x) ≠ 0 Si plusieurs contraintes : D_f = intersection des conditions. Exemples : f(x)=1/√(x−1) → x−1>0 → D_f=]1;+∞[ f(x)=ln(x²−4) → x²>4 → D_f=]−∞;−2[∪]2;+∞[

PARITÉ : f paire : D_f symétrique par rapport à 0 et f(−x)=f(x) → Courbe symétrique par rapport à l'axe Oy f impaire : f(−x)=−f(x) → Courbe symétrique par rapport à l'origine O Méthode : calculer f(−x) et simplifier. PÉRIODICITÉ : f est T-périodique : f(x+T)=f(x) pour tout x → On étudie f sur [0;T] ou [−T/2;T/2] puis on étend Exemples : sin x, cos x : T=2π tan x, |sin x| : T=π

⚡ Utilité de la parité : on étudie f sur [0;D] puis on déduit sur [−D;0] par symétrie.

Soit f (domaine D_f) et g (domaine D_g) : Somme f+g : D_{f+g} = D_f ∩ D_g Produit f·g : D_{fg} = D_f ∩ D_g Quotient f/g : D_{f/g} = {x∈D_f∩D_g : g(x)≠0} Fonction composée g∘f (lire «g après f») : (g∘f)(x) = g(f(x)) D_{g∘f} = {x∈D_f : f(x)∈D_g} Fonction √f : D = {x : f(x)≥0} |f| : définie sur tout D_f Fonction affine par intervalles : f(x) = aₖx+bₖ sur [xₖ;xₖ₊₁] → tracer morceau par morceau

f est majorée sur I : ∃M∈ℝ, ∀x∈I, f(x)≤M f est minorée sur I : ∃m∈ℝ, ∀x∈I, f(x)≥m f est bornée : majorée ET minorée Supremum (borne supérieure) = plus petit majorant Infimum (borne inférieure) = plus grand minorant Maximum : valeur atteinte par f sur I (si elle existe) Minimum : valeur atteinte par f sur I (si elle existe)

⚡ sin x est bornée sur ℝ : −1≤sin x≤1. Mais eˣ n'est pas majorée sur ℝ.