Vecteurs dans l'espace — opérations
DéfinitionDans le repère orthonormé (O;i⃗;j⃗;k⃗) :
u⃗(a;b;c) ; |u⃗|=√(a²+b²+c²)
Addition : u⃗+v⃗=(a+a';b+b';c+c')
Multiplication scalaire : λu⃗=(λa;λb;λc)
Colinéarité u⃗∥v⃗ : ∃λ, u⃗=λv⃗ ↔ a/a'=b/b'=c/c'
COPLANARITÉ de u⃗,v⃗,w⃗ :
det(u⃗,v⃗,w⃗) = | a b c |
| a' b' c' | = 0
| a'' b'' c''|
Equivalent : w⃗ = αu⃗ + βv⃗ (w⃗ combinaison linéaire)
Produit scalaire dans l'espace
Formule cléu⃗(a;b;c)·v⃗(a';b';c') = aa'+bb'+cc'
Formule géométrique :
u⃗·v⃗ = |u⃗|·|v⃗|·cosθ
Orthogonalité : u⃗·v⃗=0 ↔ θ=π/2
Propriétés :
(u⃗+v⃗)·w⃗ = u⃗·w⃗+v⃗·w⃗
λu⃗·v⃗ = λ(u⃗·v⃗)
|u⃗|² = u⃗·u⃗
Distance AB = |AB⃗| = √(Σ(xB−xA)²)