Définition du logarithme népérien
Définitionln : ]0;+∞[ → ℝ est l'unique primitive de x↦1/x qui s'annule en 1 :
• ln 1 = 0
• (ln x)' = 1/x (x>0)
• ln strictement croissante sur ]0;+∞[
Nombre e : unique réel tel que ln e = 1 (e ≈ 2,718)
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES (a,b>0, n∈ℤ) :
ln(ab) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(1/b) = −ln b
ln(aⁿ) = n·ln a
ln(√a) = (1/2)·ln a
⚡ Conséquence de la stricte croissance : ln a = ln b ⟺ a=b et ln a < ln b ⟺ a < b (a,b>0).
Équations et inéquations logarithmiques
MéthodeÉTAPE 1 — Domaine : tous les ln g(x) exigent g(x)>0.
Déterminer l'ensemble de validité AVANT de résoudre.
ÉTAPE 2 — Réduire à une seule expression ln à l'aide des propriétés.
ÉTAPE 3 — Utiliser l'injectivité / la croissance :
ln A = ln B ⟺ A=B (avec A,B>0)
ln A ≤ ln B ⟺ A≤B (avec A,B>0)
ln A = k ⟺ A = eᵏ
ÉTAPE 4 — Garder uniquement les solutions du domaine.