Primitives & Intégrales

Primitives usuelles et de fonctions composées, intégrale définie ∫ₐᵇf(x)dx, théorème fondamental, propriétés (Chasles, linéarité, positivité), aire entre courbes, valeur moyenne, intégration par parties.

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📐 Primitives

Primitive d'une fonction

Définition

F est une primitive de f sur I ⟺ F dérivable sur I et F'=f. Théorème : toute fonction continue sur I admet des primitives sur I. Unicité à une constante près : Si F est une primitive de f, toutes les primitives sont F(x)+C, C∈ℝ. Primitive vérifiant une condition F(x₀)=y₀ : unique (détermine C). Linéarité : une primitive de af+bg est aF+bG.

Primitives usuelles et composées

Formule clé

FONCTIONS USUELLES (primitive, +C) : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1) (n≠−1) 1/x → ln|x| 1/√x → 2√x eˣ → eˣ sin x → −cos x ; cos x → sin x 1/cos²x → tan x FORMES COMPOSÉES (u dérivable) : u'·eᵘ → eᵘ u'/u → ln|u| u'·uⁿ → uⁿ⁺¹/(n+1) (n≠−1) u'/√u → 2√u u'·cos u → sin u ; u'·sin u → −cos u

⚡ Reconnaître la forme u'·(quelque chose en u) est la clé : c'est l'inverse de la règle de la chaîne.

Exercices

EX-PI1FacilePrimitive composée

Trouver une primitive de f(x)=(2x+1)·e^(x²+x).

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EX-PI2IntermédiaireForme u′/u

Primitive de f(x)=2x/(x²+1) sur ℝ.

🧮 Résoudre avec IA

EX-PI3DifficilePrimitive avec condition

Trouver la primitive F de f(x)=3x²−2 telle que F(1)=4.

Primitives & Intégrales

9.1 Primitives

9.2 Intégrale définie et applications