Équations Différentielles

ÉQUATION HOMOGÈNE y'=ay (a∈ℝ) : Solutions : y(x)=C·eᵃˣ , C∈ℝ ÉQUATION COMPLÈTE y'=ay+b (a≠0) : 1. Solution particulière constante : yₚ=−b/a (car 0=a·yₚ+b) 2. Solution générale : y(x) = C·eᵃˣ − b/a , C∈ℝ CONDITION INITIALE y(x₀)=y₀ : détermine C de façon unique : C = (y₀ + b/a)·e^(−a x₀) Théorème de Cauchy : il existe une unique solution vérifiant une condition initiale donnée.

VÉRIFIER qu'une fonction g est solution de y'=ay+b : → calculer g'(x) et vérifier g'(x)=a·g(x)+b pour tout x. CAS y'=ay (sans second membre) : Fonctions solutions ↔ x↦Ceᵃˣ uniquement. STRATÉGIE TYPE BAC : 1. Identifier a et b. 2. Écrire la forme générale y=Ceᵃˣ−b/a. 3. Appliquer la condition initiale pour trouver C. 4. Étudier la limite / le comportement de la solution si demandé.