Théorème de la bijection
ThéorèmeSi f est continue et strictement monotone sur un intervalle I :
→ f réalise une bijection de I sur J=f(I)
→ J est un intervalle de mêmes bornes que f(I)
Dans ce cas :
• f⁻¹ est aussi continue et strictement monotone, de même sens que f
• Pour tout y∈J, l'équation f(x)=y admet une solution unique x∈I
Détermination de J selon le sens :
Si f croissante sur [a,b] : J=[f(a),f(b)]
Si f décroissante sur [a,b] : J=[f(b),f(a)]
Fonction réciproque f⁻¹
Définitionf : I → J bijective admet une réciproque f⁻¹ : J → I telle que :
f⁻¹(f(x))=x pour tout x∈I
f(f⁻¹(y))=y pour tout y∈J
Équivalence fondamentale :
y=f(x) ⟺ x=f⁻¹(y) (x∈I, y∈J)
GRAPHIQUE :
La courbe de f⁻¹ est la symétrique de C_f par rapport à la droite d'équation y=x (première bissectrice).
Méthode pour expliciter f⁻¹ :
Résoudre y=f(x) d'inconnue x, puis échanger x et y.
⚡ D(f⁻¹)=f(I) et f⁻¹(J)=I : le domaine de f⁻¹ est l'ensemble image de f.
Dérivée de la fonction réciproque
ThéorèmeSi f est bijective, dérivable en x₀=f⁻¹(y₀) avec f'(x₀)≠0 :
f⁻¹ est dérivable en y₀ et
(f⁻¹)'(y₀) = 1/f'(f⁻¹(y₀)) = 1/f'(x₀)
Formulation pratique : si y=f(x), alors (f⁻¹)'(y)=1/f'(x).
Interprétation géométrique :
Les tangentes en M(x₀,y₀) à C_f et en M'(y₀,x₀) à C_(f⁻¹) ont des pentes inverses (symétrie /y=x).